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十日日記


2004-06-02

Link 操作を分解するという発想

数学Aの教科書(数研出版)のうち「場合の数」の単元には、何カ所か気に入らないところがある。たとえば「組み合わせ」の導入がそうで、順列の順序を無視したら組み合わせとしては同じになるから割る――という説明だ。

それよりも、組み合わせ(C記号)が「選ぶ」という操作と直接に関わっていることを意識させたい。たとえば40人から5人を並べた順列は「選んで並べる」という操作だが、これを「40人から5人選ぶ」と「選んだ5人を並べる」との2操作に分解する。これらは連続操作なので積の法則が成り立つから、nPr = nCr × r!となる。右辺を見るときには、「r人を選んで、そのr人を並べる」と考える。ここからnCr = nPr / r!を出すのは単なる等式変形である。

上の話は統計学の入門書には書かれていることがあるが、操作を分解するという発想のよさは、「組分け」の問題や「同じものを含む順列」の問題でも役に立つことだ。たとえばaaabbcの順列は6! /(3!・2!・1!)で、一般にはn! / p! q! r!(p+q+r=n)という公式になる。この公式の導入に、教科書ではnCrの煩雑な式変形、参考書では公式のみの天下り式紹介という方法をとっていた。たしかに教科書での式変形は面倒で導出しづらく、生徒は暗記に頼るだろう。

いま挙げたaaabbcなら、次のように操作を分解する。たとえばa, b, cのそれぞれにa1, a2, a3などと区別があるとしよう。このときの順列は6!である。この順列を求める操作は、「aaabbcを区別のつかないまま並べる」「aに1〜3のラベルを貼って区別をつける」「bに1〜2の区別をつける」「cに1のラベルを貼る」と分解できる。そうするとこの式は、6! = (求めたい順列) × 3!・2!・1!になる。あとは等式変形すれば求めたい順列が得られるだろう。

追記040604。似た例としては円順列がある。n人が円形に並ぶときには、区別のつかない順列がn通りある。(たとえば3人の円順列ではABC、BCA、CABに区別がない。)だからnで割ってn! / n = (n-1)!通りとするのが教科書的な説明だ。ところが、なぜnで割るのか腑に落ちない生徒が出てくる。

O先生は、この問題を次のように処理していた。順列 = 円順列 × 元に戻す分。円順列が順列の操作を分解したものとみなせるかどうか懸念が残るが、割り算の嫌らしさをなくしている。K先生は、ABC、BCA、CABに区別がないから個数が1/3になる――というように、分数のかけ算で処理していた。かけ算なら割り算ほど違和感を覚えないのがおもしろい。

割り算に対する違和感のもとは、等分除と包含除とのいずれも場合の数には適用しにくいことにあるのではなかろうか。私がイメージしたのはABC、BCA、CABが1つに重なっていくようすで、これだと1/3になりそうな感じはする。

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2004-06-10

Link 歌に誘われたり

西鉄バスのコマソンになっている井上陽水「歌に誘われて」が「思わぬ反響」を呼び、福岡地区で限定販売されているのを知る。先のリンク先から購入できるので、ものは試しと聞いてみた。シングルのB面に入るような気楽な曲で、たしかに意外なヒットだ。

このところ、高校までの道のりはバスを利用している。本数は少なく(1時間に1本以下)時間はかかる(45分〜1時間)ものの、京阪枚方市駅とJR四条畷駅とを直接結ぶバスがあるのだ。一般的な京阪交野線+JR片町線にくらべての利点は、(1)直通なので120円安い片道250円であること、(2)確実に座れることだ。(2)は大きい。なにしろ乗客の数が2桁に達したのを見たことがない。たいていは私を入れて2名。終点まで乗っているのは私ひとりだ。

ぜんぜん関係ないけれど、いつのまにか高校名が「四条畷高校」から「四條畷高校」に変わっていた。創立100周年を記念して名称変更したらしい。ついでに書くと、各教室に空調が設置されているのには驚いた。府立高校の分際でなんたる贅沢――かと思いきや、生徒から年5400円の空調代を徴収しているのだそうだ。1学級年216,000円というのは、冷暖房費としては高くはないか。

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2004-06-14

Link テレビ売り場の残響音

家電量販店のテレビ売り場で大画面テレビを見るとき、音声の音質が気になっていた。まるでホールにいるかのような残響が音声に入っていて、スポーツ観戦や映画鑑賞にはいいのだろうが報道番組にはつらい。市販の大画面テレビは迫力を強調するため、わざとそのように設定しているのだと思っていた。

異なる可能性を考えたのは、実家で2台のテレビをつけていたときだ。NHKでは地上波と衛星とで同じ番組を放送していることがあって、実家のテレビは一方で地上波、他方で衛星にて同じニュースが流れていた。地上波と衛星とでは微妙にタイミングがずれているため、アナウンサーの声が残響しているように聞こえる。

テレビ売り場で聞こえる残響音も、複数台のテレビからタイミングの異なる音声が出ているからなのかもしれない。

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2004-06-18

Link 円の接線の方程式

81課程では数I、94課程以降では数IIで学習する「図形と方程式」の分野は、解析幾何の古色蒼然とした問題が並んでいて好みでない。家庭教師先での学習単元がまさにここで、円の接線の方程式を使って問題を解いたりしている。

円の接線の方程式の証明には、教科書通りには「点と直線との距離」が使われる。1年生に教えていた時代ならそれしか方法がないが、2年ならばベクトルを学習しているのだから、そちらの証明も教えるべきだと思う。教科書は仕方がないとして、数II+Bとセットにして扱っている参考書までが単元にこだわるのはよくないことだ。

ベクトルを使うと下のようになる。距離の公式を使うよりも計算は楽だ。円の中心が原点からずれた場合も同じようにする。

円の接線の方程式

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